Снеси старую Винду,установи новую и будет все ок!

У вас нужно переустановить сертификаты банковких страниц, если они были установлены. Нужно убрать все cookies от тех страниц и дать страничкам их установить заново. Здесь возможно вам понадобится немножко руководство со стороны их телефонного сервиса. Они сами вам будут говорить что нужно почистить в компьюторной памяти.
Я постоянно делаю все банковские дела на интернете, и это норамальный метод, современым стал уже лет почти десять назад.
Каждый броузер имеет свою память и если страничка была обновлена со стороны ее владельца, а у вас записан старый вход в страничку, то вы не сможете им воспользоваться до обновления всех опознавательных систем, кукиес.
Часто наши любят списывать и переписывать подлежащую систему, отдавая свои компьюторы в руки домашних мастеров. Современные системы это замечают и перестают устанавливать свои обновления. Такая виндоус или еще что система быстро теряет способность работать еффективно и перестает соответствовать защитным системам банковских страниц.
Так что если вы ни со стороны банка не можете переустановить связь, ни по телефонной их же навигации не можете выйти на страничку, нужно почистить память. Есть кнопка на файерфоксе в Истории, в меню на верху. Я не знаю если у вас английский или Русский вариант. Могу подсказать на английском: History then Clear Resent History - press All.
Если не очень все работает, то идешь: все вместе нажимаешь три кнопки Ctrl Alt Del появляется голубой экран и выбираешь последнюю запись внизу Start Task Manager. Там просматриваешь два таба- Aplications, Processes. если что то включено и ты замечаешь что это не твоя знакомая аппликация, попробуй ее выключить. если компьютор отказывается, оставь ее в покое. затем, перестартуй компьютор. Он может сказать что часть памяти потеряна и он начнет с того что помнит. дай ему это сделать. он может заявить что не может стартанут с обычного старта. У тебя должет быть сделан диск для рестарта. введи его в слот и рестарт компьютор.
Еще антивирус и анти спай должен быть у вас свой, от Нортона или Мкафе. Если все подешевке и передертое, установлено с переделаными сертификатами, то придется все это выбросить и купить за ооочень дорогие деньги, примерно 39 долларов на год реальный сертификат, защищающий от вирусов и всевозможных подслушивающих и рекламных спаев.

Присоединяюсь к предыдущему ответу.
С другой стороны нужно уточнить в банке. Очень даже может быть что они поддерживают только IE начиная с 8 версии которой нет на вашей Windows XP (Для установки требуется Windows XP SP3)

Спасибо Артур, Алекс и, особо, Наталья за развернутый ответ и конкретные рекомендации.
Буду заниматься.